奥林匹克数学的基本特征

          奥林匹克数学形成于数学竞赛活动，在这样的背景中形成的竞赛数学的知识形态是很特殊的，它不具备完整的知识体系和严密的逻辑结构，但又具有相对稳 定的内容，通过问题和解题将许多具有创造性、灵活性、探索性和趣味性的知识、方法综合在一起，这就决定了这门学科的主要研究对象是竞赛数学命题与解题的规 律和艺术，并且具有不同于其他数学学科的许多特征。

内容的广泛性

          竞赛数学通过一个个千姿百态的问题和机智巧妙的解法，横跨传统数学与现代数学的各个领域，与代数、几何、数论、组合等保持 着密切而自然的联系，但又不同于这些学科系统的专门研究，它可以随时吸收有趣味的、富有灵活性和创造性而又能为选手接受的问题，而不受研究对象的限制，因 此这门学科比其他学科的内容更为广泛。

          竞赛数学包含了传统数学的精华。数学历史上的著名问题，是历代数学大师的光辉杰作，是人类文明的宝贵财富，它们以别致、独到的构思，新颖、奇巧的方法和精 美、漂亮的结论，使人们赏心悦目、流连忘返。由于种种原因，今天学校的课堂教学，没能提供机会让青少年学生接触这笔丰富的遗产，而竞赛数学继承和发扬了这 笔丰富的遗产。这既说明了命题者的主观倾向，又说明了那些传统名题的教育价值。

          竞赛数学吸收了能用初等语言表达，并能用初等方法解决的高等数学中的某些问题。这里的问题甚至解法的背景往往来源于某些高等数学领域，渗透了高等数学中的 某些内容、思想和方法。竞赛数学又不同于这些数学领域。通常数学往往追求证明一些概括的广泛的定理，而竞赛数学恰恰寻求一些特殊问题；通常数学追求建立一 般的理论和方法，而竞赛数学则追求用特殊的方法来解决特殊问题，而不需要高深的数学工具，这些问题往往可以从思考角度、理解方法和解题思路方面推出一种广义的认识。

命题的新颖性

          由于竞赛题目难度大，为了保证题目的新意，许多竞赛题目不仅常常使用现代化的数学语言，而且体现了现代数学发展的趋势(主 要是离散数学)，甚至有些内容就是科学研究的新成果。前沿数学家在自己的研究中遇到一些中间子问题，最终能用初等方法来解决，于是就变为不可多得的好试 题。另外，对一些现代数学的研究成果经过简单化、特殊化后可以找到初等解法，更是竞赛试题的重要来源。正如竞赛专家乔治?西泽克斯 (GeorgeSezekers)所说：“我所提出的问题几乎全部来自’实际生活’，那就是说，来自数学家的实际工作所产生的问题。”

例1  (1986CMO第1题)a1，a2，？，an为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满      x1+x2+？+xn=1的任意非负实数 x1，x2，？，xn有不等式a1x1+a2x2+？+ anxn≥a1x21+a2x22+？+anxnn成立。请证明上述命题及其逆命题。

          这是命题者常庚哲先生科研中遇到的问题。例2(1990 IMO预选题)10个地区之间有两个国际航空公司，在任意两个地区之间都有一直达航线(中间不 停)，所有航线都是可往返的。证明至少有一个国际航空公司可以提供两条互不相交的环形旅行线，其中每条线上的站数是奇数。这一题目的背景是图论中的拉木赛 (Ramsy)定理，以这一定理为背景的竞赛题目很多，也很有趣。解答这类问题主要应用染色方法及抽屉原理，而不要求具有高深和特殊的数学知识。

方法的创造性

          奥林匹克数学是才智的角逐。解竞赛题虽然离不开一般的思维规律，也有一些使用频率较高的方法和技巧，但没有固定的常规模式 可循，它需要纵观全局的整体洞察力，敏锐的直觉和独创性的构思，要求学生自己去探索、尝试，通过观察、思考发现规律，寻求解决问题的有效途径。一些有固定 模式可以遵循的问题，不属于奥林匹克数学。

例2     (1983 IMO第6题)设a、b、c是三角形的三边长，求证：

           a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0并说明等号何时成立。

          16岁的西德选手波恩哈德.李由于对此题的巧妙求解而被授予奥林匹克特别奖。首先，他记左边为I，由于多项式I是轮换对称的，不妨设a≥b，c，故有 I=a(b-c)2(b+c-a)+b(a-b)(a-c)(a+b-c)≥0 显然，I=0 的充要条件是a=b=c。